C1 medför differentierbar - Versionshistorik

Feldgrau: kat

2006-04-05T13:38:16Z

kat

← Äldre version		Versionen från 5 april 2006 kl. 13.38
Rad 22:		Rad 22:
	V.s.v.		V.s.v.

	~~[[Kategori:Matematik]]~~
	[[Kategori:Flervariabelanalys]]		[[Kategori:Flervariabelanalys]]

Bjorne den 11 februari 2006 kl. 16.26

2006-02-11T16:26:35Z

← Äldre version		Versionen från 11 februari 2006 kl. 16.26
Rad 23:		Rad 23:

	[[Kategori:Matematik]]		[[Kategori:Matematik]]
			[[Kategori:Flervariabelanalys]]

Bjorne: +kat

2006-02-10T11:35:22Z

+kat

← Äldre version		Versionen från 10 februari 2006 kl. 11.35
Rad 21:		Rad 21:

	V.s.v.		V.s.v.

			[[Kategori:Matematik]]

Bjorne den 10 februari 2006 kl. 11.33

2006-02-10T11:33:31Z

← Äldre version		Versionen från 10 februari 2006 kl. 11.33
Rad 5:		Rad 5:
	'''BEVIS.'''		'''BEVIS.'''

	För <math>\mathbf{a}=(a,b)</math> finns <math>B_\delta (a,b) = \{(x,y): \|(x,y) - (a,b)\| < \delta\} \~~subset~~ D</math>. <math>h,k</math> så små att <math>(a+h,b+k) \in B_\delta (a,b)</math>. Då är		För <math>\mathbf{a}=(a,b)</math> finns <math>B_\delta (a,b) = \{(x,y): \|(x,y) - (a,b)\| < \delta\} \subseteq D</math>. <math>h,k</math> så små att <math>(a+h,b+k) \in B_\delta (a,b)</math>. Då är

	<math>f(a+h,b+k) - f(a,b) = </math> [Dela upp i x- och y-led] <math>= f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) = </math> (MVS) <math> = f'_x(\xi,b+k)h + f'_y(a,\eta)k = </math>		<math>f(a+h,b+k) - f(a,b) = </math> [Dela upp i x- och y-led] <math>= f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) = </math> (MVS) <math> = f'_x(\xi,b+k)h + f'_y(a,\eta)k = </math>

Bjorne den 10 februari 2006 kl. 11.31

2006-02-10T11:31:50Z

← Äldre version		Versionen från 10 februari 2006 kl. 11.31
Rad 4:		Rad 4:

	'''BEVIS.'''		'''BEVIS.'''

			För <math>\mathbf{a}=(a,b)</math> finns <math>B_\delta (a,b) = \{(x,y): \|(x,y) - (a,b)\| < \delta\} \subset D</math>. <math>h,k</math> så små att <math>(a+h,b+k) \in B_\delta (a,b)</math>. Då är

			<math>f(a+h,b+k) - f(a,b) = </math> [Dela upp i x- och y-led] <math>= f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) = </math> (MVS) <math> = f'_x(\xi,b+k)h + f'_y(a,\eta)k = </math>
			<math> (f'_x(a,b) + \rho_1(h))h + (f'_y(a,b) + \rho_2(k))k = </math>
			<math> f'_x(a,b)h + f'_y(a,b)k + \rho_1(h)h + \rho_2(k)k = </math>
			<math> f'_x(a,b)h + f'_y(a,b)k + \sqrt{h^2 + k^2}\left( \frac{h}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_1(h) + \frac{k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_2(k) \right) </math>. Låt <math>\rho(h,k) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_1(h) + \frac{k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_2(k) \longrightarrow 0</math> då <math>(h,k) \longrightarrow (0,0)</math> ty

			<math>\frac{h}{\sqrt{h^2 + k^2}} \le 1</math>

			<math>\frac{k}{\sqrt{h^2 + k^2}} \le 1</math>

			<math>\rho_1(h) \longrightarrow 0</math> då <math>h \longrightarrow 0</math>

			<math>\rho_2(k) \longrightarrow 0</math> då <math>k \longrightarrow 0</math>

			V.s.v.

Bjorne den 10 februari 2006 kl. 11.02

2006-02-10T11:02:23Z

Ny sida

'''Sats.''' ''(<math>C^1 \Rightarrow</math> differentierbar)''

Om <math>f:\mathbf{R}^2 \longrightarrow \mathbf{R}</math> är <math>C^1</math> ([[C1]]) i <math>D</math> så är <math>f</math> [[differentierbarhet|differentierbar]] i <math>D</math>.

'''BEVIS.'''