Störningssatsen

Störningssatsen

Störningssatsen definieras som

<math> {\| \Delta x \| \over \| x \|} = cond(A) * { \| \Delta b \| \over \| b \|} </math>

Där <math>\|\Delta b \|</math> och <math>\|b\|</math> är normen av en skillnad i högerledet samt högerledets vektor.
<math>\|\Delta x\|</math> och <math>\|x\|</math> är normen av en felvektor (det absoluta felet <math>x_i = x_i</math> ) för <math>i = 1 , \ldots , n</math> samt det sanna värdet<math>x = \{ (x_1,\ldots,n_i) \}</math>.

<math>cond(A)</math> eller konditionstalet av en matris definieras som <math>\|A^{-1}\|*\|A\|</math> , vilket är matrisnormen av matrisinversen samt matrisen själv.
A är en icke-singulär matris. Konditionstalet talar om för hur nära en matris är singulär, ju större värde desto närmare singularitet. Om A skulle vara singulär så går konditionstalet mot oändligheten. Vidare är det ett mått på hur noggrant ett resultat kan presenteras.

Störningssatsen säger alltså: för en ändring i högerledet sker än ändring i vänsterledet (eller lösningen) gentemot en (åäö)�förstärkningsfaktor(åäö)� som motsvaras av konditionstalet. Har vi en välkonditionerad matris (dvs.<math>cond(A)\approx 1</math>) så har vi ingen förstärkning. En okonditionerad matris ger ett konditionstal mycket större än 1, dvs. stor förstärkning vilket leder till stort relativt fel.