Störningssatsen: Skillnad mellan sidversioner
Feldgrau (diskussion | bidrag) spam^2 |
|||
| (5 mellanliggande sidversioner av en annan användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
== Störningssatsen == | == Störningssatsen == | ||
Störningssatsen definieras som | '''Störningssatsen''' definieras som<br> | ||
<math> | <math> | ||
{\| \Delta x \| \over \| x \|} = cond(A) * { \| \Delta b \| \over \| b \|} | {\| \Delta x \| \over \| x \|} = cond(A) * { \| \Delta b \| \over \| b \|} | ||
</math> | </math><br> | ||
Där <math>\|\Delta b \|</math> och <math>\|b\|</math> är normen av en skillnad i högerledet samt högerledets vektor. <br> | Där <math>\|\Delta b \|</math> och <math>\|b\|</math> är normen av en skillnad i högerledet samt högerledets vektor. <br> | ||
<math>\|\Delta x\|</math> och <math>\|x\|</math> är normen av en felvektor (det absoluta felet <math>x_i = x_i</math> ) för <math>i = 1 , \ldots , n</math> samt det sanna värdet<math>x = \{ (x_1,\ldots,n_i) \}</math>. | <math>\|\Delta x\|</math> och <math>\|x\|</math> är normen av en felvektor (det absoluta felet <math>x_i = x_i</math> ) för <math>i = 1 , \ldots , n</math> samt det sanna värdet<math>x = \{ (x_1,\ldots,n_i) \}</math>.<br><br> | ||
<math>cond(A)</math> eller konditionstalet av en matris definieras som | <math>cond(A)</math> eller konditionstalet av en matris definieras som <math>\|A^{-1}\|*\|A\|</math> , vilket är matrisnormen av matrisinversen samt matrisen själv. <br> | ||
A är en icke-singulär matris. Konditionstalet talar om för hur nära en matris är singulär, ju större värde desto närmare singularitet. Om A skulle vara singulär så går konditionstalet mot oändligheten. | |||
Vidare är det ett mått på hur noggrant ett resultat kan presenteras. | Vidare är det ett mått på hur noggrant ett resultat kan presenteras. | ||
<br><br> | |||
Störningssatsen säger alltså: för en ändring i högerledet sker än ändring i vänsterledet (eller lösningen) gentemot en (åäö)�förstärkningsfaktor(åäö)� som motsvaras av konditionstalet. Har vi en välkonditionerad matris (dvs.<math>cond(A)\approx 1</math>) så har vi ingen förstärkning. En okonditionerad matris ger ett konditionstal mycket större än 1, dvs. stor förstärkning vilket leder till stort relativt fel. | |||
[[Kategori:Jag är helt seriös nu, och jag vill inte att ni larvar er]] | |||
[[Kategori: | |||
Nuvarande version från 5 april 2006 kl. 13.41
Störningssatsen
Störningssatsen definieras som
<math>
{\| \Delta x \| \over \| x \|} = cond(A) * { \| \Delta b \| \over \| b \|}
</math>
Där <math>\|\Delta b \|</math> och <math>\|b\|</math> är normen av en skillnad i högerledet samt högerledets vektor.
<math>\|\Delta x\|</math> och <math>\|x\|</math> är normen av en felvektor (det absoluta felet <math>x_i = x_i</math> ) för <math>i = 1 , \ldots , n</math> samt det sanna värdet<math>x = \{ (x_1,\ldots,n_i) \}</math>.
<math>cond(A)</math> eller konditionstalet av en matris definieras som <math>\|A^{-1}\|*\|A\|</math> , vilket är matrisnormen av matrisinversen samt matrisen själv.
A är en icke-singulär matris. Konditionstalet talar om för hur nära en matris är singulär, ju större värde desto närmare singularitet. Om A skulle vara singulär så går konditionstalet mot oändligheten.
Vidare är det ett mått på hur noggrant ett resultat kan presenteras.
Störningssatsen säger alltså: för en ändring i högerledet sker än ändring i vänsterledet (eller lösningen) gentemot en (åäö)�förstärkningsfaktor(åäö)� som motsvaras av konditionstalet. Har vi en välkonditionerad matris (dvs.<math>cond(A)\approx 1</math>) så har vi ingen förstärkning. En okonditionerad matris ger ett konditionstal mycket större än 1, dvs. stor förstärkning vilket leder till stort relativt fel.