Störningssatsen

Störningssatsen

Störningssatsen definieras som:

<math> {\| \Delta x \| \over \| x \|} = cond(A) * { \| \Delta b \| \over \| b \|} </math>

Där <math>\|\Delta b \|</math> och <math>\|b\|</math> är normen av en skillnad i högerledet samt högerledets vektor. <math>\|\Delta x\|</math> och <math>\|x\|</math> är normen av en felvektor (det absoluta felet ) för i = 1,..,n samt det sanna värdet.

, eller konditionstalet av en matris definieras som  , vilket är matrisnormen av matrisinversen samt matrisen själv. A är en icke-singulär matris. Konditionstalet talar om för hur nära en matris är singulär, ju större värde desto närmare singularitet. Om A skulle vara singulär så går konditionstalet mot oändligheten.

Vidare är det ett mått på hur noggrant ett resultat kan presenteras.

Störningssatsen säger alltså: för en ändring i högerledet sker än ändring i vänsterledet (eller lösningen) gentemot en (åäö)�förstärkningsfaktor(åäö)� som motsvaras av konditionstalet. Har vi en välkonditionerad matris (dvs. ) så har vi ingen förstärkning. En okonditionerad matris ger ett konditionstal mycket större än 1, dvs. stor förstärkning vilket leder till stort relativt fel.