Riktningsderivata

Definition. (Riktningsderivata) <math>f:\mathbb{R}^p \longrightarrow \mathbb{R}</math>, <math>\mathbf{a}</math> inre punkt i <math>D_f</math>, <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^p</math> med <math>|\mathbf{v}| = 1</math>.

Om <math>\lim_{t \rightarrow 0} \frac{ f(\mathbf{a} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{a}) }{t} = f'_{\mathbf{v}}(\mathbf{a}) </math> existerar så kallas det riktningsderivatan av <math>f</math> i <math>\mathbf{a}</math> i riktningen <math>\mathbf{v}</math>.

Sats. Om <math>f:\mathbb{R}^p \longrightarrow \mathbb{R}</math> differentierbar i <math>\mathbf{a}</math> så är <math>f'_{\mathbf{v}}(\mathbf{a}) = \textrm{grad} f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v}</math>.

BEVIS. Obs! <math>|\mathbf{v}| = 1</math>.

<math>\frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{t} = </math> <math>\frac{\textrm{grad} f(\mathbf{a})\cdot (t\mathbf{v}) + |t\mathbf{v}|\rho(t\mathbf{v})}{t} =</math> <math>\textrm{grad} f (\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v} \pm \rho(t\mathbf{v}) \longrightarrow \textrm{grad} f (\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v}</math> då <math>t \longrightarrow 0</math>. V.s.v.