C1 medför differentierbar

Sats. (<math>C^1 \Rightarrow</math> differentierbar)

Om <math>f:\mathbf{R}^2 \longrightarrow \mathbf{R}</math> är <math>C^1</math> (C1) i <math>D</math> så är <math>f</math> differentierbar i <math>D</math>.

BEVIS.

För <math>\mathbf{a}=(a,b)</math> finns <math>B_\delta (a,b) = \{(x,y): |(x,y) - (a,b)| < \delta\} \subseteq D</math>. <math>h,k</math> så små att <math>(a+h,b+k) \in B_\delta (a,b)</math>. Då är

<math>f(a+h,b+k) - f(a,b) = </math> [Dela upp i x- och y-led] <math>= f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) = </math> (MVS) <math> = f'_x(\xi,b+k)h + f'_y(a,\eta)k = </math> <math> (f'_x(a,b) + \rho_1(h))h + (f'_y(a,b) + \rho_2(k))k = </math> <math> f'_x(a,b)h + f'_y(a,b)k + \rho_1(h)h + \rho_2(k)k = </math> <math> f'_x(a,b)h + f'_y(a,b)k + \sqrt{h^2 + k^2}\left( \frac{h}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_1(h) + \frac{k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_2(k) \right) </math>. Låt <math>\rho(h,k) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_1(h) + \frac{k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\rho_2(k) \longrightarrow 0</math> då <math>(h,k) \longrightarrow (0,0)</math> ty

<math>\rho_1(h) \longrightarrow 0</math> då <math>h \longrightarrow 0</math>

<math>\rho_2(k) \longrightarrow 0</math> då <math>k \longrightarrow 0</math>

V.s.v.